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  1. 如图1,在射雕英雄传中,郭靖攻城受到完颜洪烈的顽强抵抗,采用了如下办法。现假设,空中无风,空气对风筝阻力$f$可表示为$f=kv\sin\alpha$,其中$k$为常量,$v$为风筝速度,$\alpha$为图2中所示角。另外,由于郭靖的强大内功,可以恰好补偿$f$所带来的能量损耗,但内力并无冲量,故$f$的冲量不能因此忽略。现在如图3,已知郭靖从$A$点山顶以水平速度$v_0$飞下,设他可以使得风筝与水平面夹角恒为$\alpha_0$,且郭靖、风筝总质量为$m$,最终到达$B$点,试求满足此条件时,$k$的值。
    第一题图
  2. 如图4,在$xoy$坐标系内,$t=0$时,一质量为$m$的小球$A$以$v_0$的$x$正方向速度开始运动。$A$与$O$点间连接着一劲度系数为$k$,原长为$l_0=0$的弹簧,且$mv_0^2> kb^2$,现有一小狗从$O$点出发追$A$球,且追踪路线满足如下规律:(出发时$t=0$)

    1. 任意时刻,狗、球、$O$三点共线
    2. 任意时刻,狗、球速度满足:
      $v_{狗x}^2+v_{狗y}^2\cdot\frac{mv_0^2}{kb^2}=v_{球x}^2+v_{球y}^2\cdot\frac{mv_0^2}{kb^2}$(角标中$x,y$分别表示速度在$x,y$方向分量)

    试求:狗追上球的轨迹方程和时间。第二题图

  3. 如图5,一浮子由两个半径为$R$的球冠相合而成,其质量为$m_1$,中心厚度为$h$($h<2R_0$),长为$l$,质量为$m_2$的均匀细杆从浮子中心垂直插入,下端刚好到达下球冠表面,讨论整个系统铅锤位置平衡的稳定性。已知,各参量间满足如下关系$\frac{24(m_1+m_2)}{h^2\rho}<\pi(6R-h)$,其中$\rho$为液体密度。
    第三、四题图
  4. 如图6,一束平行的单色光线从无穷远处射向一半径为$R$,质量为$M$的天体,且天体中心到光线距离$a\in[R,R+\Delta R]$,其中$\frac{\Delta R}{R}\ll1$,光线发生了极小的$\Delta\theta$的偏转。

    1. 若将光子视为经典粒子流,试计算$\Delta \theta$的值
    2. 现在,在距此天体很远处放一巨大透镜,设汇聚中心为亮点,求题中各参量满足的条件
    3. 现在,我们用一引力场模拟一个焦距为$f$的会聚透镜,则试求此球对称引力场的质量与半径之间的关系。其中$L=O_1O_2$且$L\gg R,L<\frac{R^2c^2}{2GM}$,另外$f\gg e$。$O_2$为引力场的对称中心。另外,附加引力场对光线的作用我们只用考虑$r\leq$瞄准距离部分的质量对光的吸引即可
  5. 如图7所示,滑轮光滑且质量不计,一长为$L$质量为$M$的细绳堆放在光滑的水平面上,通过一不计质量的细线绕过定滑轮,用一恒力拉绳,当拉力作用到绳子刚好全部离开地面时撤去,最后细绳恰好停在滑轮上,试求拉力所做的功。
    第五题图
  6. 长期以来,台球都是人们热爱的运动,图8为一标准15球花式的开局,击球人想将15号球一杆击入左下角底袋,现在已知有如下规则和条件:

    1. 各球质量相等,均为$m$,半径均为$R$
    2. 1~15号球如图放置且与相邻球轻轻接触
    3. 球与球间碰撞,恢复系数时$e$(0<e<1)
    4. 各球间摩擦系数为$\mu$,球与桌面摩擦系数为$\mu^\prime=0$
    5. 不考虑球的转动,只考虑其平动
    6. 已知击球人已通过母球的打击让1号球获得如图动量,且$\alpha$较大,可以认为$\tan\alpha$足够大
    7. 忽略同一排台球(如2,3号球,4,5,6号球为同一排,而1,2号球则不同排)之间的作用
    8. 如图9所示,当三球发生轻碰时,球1有速度$v$而2,3球静止,且设$v$在1,2号球连心线上的投影为$v_{12}$和在1,3号球连心线上的投影为$v_{13}$有$v_{12}>v_{13}$,则可视为球1先与球2碰,再与球3碰

试求$e, \mu$满足的条件。第六题图

参考答案

Last modification:July 24th, 2020 at 02:32 am
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