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  1. 电荷与质量有很多相似的地方,如封闭系统电荷守恒,封闭系统质量守恒。库仑定律与万有引力定律均遵守平方反比定律。故而,考虑到电学中的电偶极子的概念,我们定义质量偶极子$\vec{l}$为$\vec{l}=\int\vec{r}\mathrm{d}m$,式中积分遍及系统质量分布的所有区域。$\vec{r}$为该点(从原点)的矢径。现在设想有一个球,原点取在球心,内部总质量为$m$。

    1. 若球内部质量分布不断变化,使$\mathrm{d}^2\vec{l}/\mathrm{d}t^2=\vec{K}$,求使球保持不动所需要加上的合外力。
    2. 我们考虑球在引力场中受力(保持球质量分布不变)。设引力场为$\vec{g}=\vec{g}(\vec{r})$为在空间中不均匀但稳恒的场。(球很小,计算中可以认为在球所在区域内引力场线性变化。)
    3. 我们回到对电偶极子的讨论,取$\vec{p}=\int\rho\vec{r}\mathrm{d}V$,且$\vec{p}=\vec{p}(t)$,处于稳恒电场中$\vec{E}=\vec{E}(r)$同样可认为$\vec{E}$在小球区域内线性变化。小球总电荷为$Q$,。小球仅受静电力的作用。试求$\vec{l}=\vec{l}(t)$需满足的条件。
  2. 有三个质点位于等边三角形三个顶点上,质量为$m_1,m_2,m_3$,它们受且仅受之间的万有引力。开始时三个质点具有相同大小指向下一个质点的速度$v$,$m_1$指向$m_2$,$m_2$指向$m_3$,$m_3$指向$m_1$。(等边三角形边长为$l$)

    1. 求证三个质点此后一直位于正三角形的三个顶点上
    2. 为使系统做周期运动,$v$需满足的条件
    3. 若$v$满足第二问的条件,求系统运动的周期$T$
  3. 历史上塞米罗提出再现佯谬:由于经过足够长时间后,体系总有可能足够接近的回到原来状态,就意味着孤立系统中不可逆过程的出现,熵增加原理等等都只是暂时现象,从长远来看,一切过程都是可逆的。根本不存在自发过程等方向性,也不存在热力学第二定律。对此我们研究一简化模型。有$N$个质点$m_1,m_2,m_3,...,m_N$它们之间收到引力作用的大小为$f_{ij}=km_im_jr_ij$,其中$\vec{r}_{ij}=\vec{r}_i-\vec{r}_j$,即$r_{ij}$为$m_i$和$m_j$之间的距离。试计算在一般初始条件(保证总动量为零,$|p|\lt p_{max},\ |r|\lt r_{max}$)下系统的回复时间$T$(即使系统中各粒子动量与坐标各分量与初始条件之相差一小量$\varepsilon\times p_{max}$或$\varepsilon\times r_{max}$)。取$N=10^{18}, m_1=m_2=...=m_N=10^{-18}\mathrm{kg}, k=1\mathrm{N/m\cdot kg^2}$,试计算$T$。($\varepsilon$可取$10^{-5}$)
  4. 有一圆环质量为$m$,被轻杆固定在一轴上。轴恰处于环的对称轴上,环的半径为$r$。轴被固定在$K_1$上,可绕轴自由转动,$K_1$,$K_2$也可绕轴转动,如图所示。环以角速度$\omega$相对$K_1$自由转动。$K_2$再外力驱动下以$\Omega$为角速度转动,且$\mathrm{d}\Omega/\mathrm{d}t=0$。设开始时$K_1$平面与有一夹角$\alpha(0)$,试证此后$\alpha$随时间简谐变化,并求出周期$T$。(不考虑除环之外物体的质量,$\alpha\ll1$)
    第四题图
  5. 设有一粒子$m$在一中心力场中运动,$V(r)=kr^2/2-\alpha/r^2$

    1. 求粒子不落入中心其初始条件所必须满足的条件
    2. 计算在满足上述条件时,粒子径向运动的周期
  6. 将地球近似考虑为一密度均匀的球,半径为$R$,表面重力加速度为$g$,并忽略自转。现在地球表面取$A,B$两点,相距为$s$(连接$A,B$两点的球大圆的$A,B$段的长)。在$A,B$之间挖一条隧道,隧道光滑。将一物体从$A$无初速度释放,经过一段时间$T$后,物体到达$B$。(忽略物体线度)

    1. 如何挖这条隧道才能使$T$最小,试定量描述隧道形状
    2. 对1中的隧道,求出最小值$T$
Last modification:May 22nd, 2020 at 11:07 pm
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