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  1. 在如图坐标平面$x-o-y$内,原点$O$处有一质点1,$x$轴上坐标为$(d,0)$的$A$处有另一质点2。现在2沿如图夹角为$\alpha$的直线做匀速直线运动,速度为$b$,同时1以速度$a(a>b)$始终向着2运动。求:1与2相遇点$P$的坐标。
    第一题图
  2. 在宇宙中遥远的某处有一星体$O$,上面有一种生物,它们具有和人类相似的智慧,科技也比较发达。它们在某个时期决定发射它们的第一颗卫星。经观测发现,在$O$为球心的半径很大的球内均无其他星体及物质,固它们认为星体$O$是一个孤立的。经测量得,星体$O$的质量为$M$。它们设计的卫星的轨道为椭圆,近点$A$到$O$的距离为$d$,离心率$e=\frac{1}{2}$。有了计划后,它们便马上开始落实。在将卫星送到近点A时,点火使其速度恰好满足上述轨道的偏移。经跟踪发现,卫星并不是做一个椭圆运动,其轨道发生着变化。后经它们研究发现,其实$O$不是孤立的,在空间中分布着暗物质,分布为:在以$O$为球心半径为$R=2d$的区域内不存在,在此球外均匀分布着密度为$\rho$的暗物质,$\rho$满足$\frac{4}{3}\pi R^3\rho=M$。求

    1. 卫星实际的运动,画出草图。
    2. 是否为周期运动?若是,求出周期$T$。
    3. 是否存在这样一个轨道,轨道为闭合的周期性的,一个周期内卫星与$O$连线转过$2\pi$,且在$R$内外都有轨道的一段。若存在,给出轨道及周期$T^\prime$。(暗物质分布不会变化)
  3. 在直角坐标系中,平面$x-o-y$与水平面平行。在原点$O$处有一质点,此时速度$\vec{v_0}=v_0\left(\sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta}\vec{i}+\cos\alpha\vec{j}+\cos\beta\vec{k}\right)$。其所受外力为:重力$\vec{G}=-mg\vec{k}$,阻力$\vec{f}=-f\frac{\vec{v}}{v}, f=mg$,求质点最终的速度。
  4. 有一个横截面为正方形的柱体,正方形边长为$2a$,请设计一个轨道,如下图,使柱体在上面滚动时,中心$A$的高度不变,求出轨道方程。(只需要写最小重复单元的方程)。对于截面是边长为$2a$的正$n$边形,情况又如何?(运动过程中不会发生碰撞)
  5. 一陀螺由半径为$2a$的薄圆盘及一垂直通过盘中心$C$长为$a$的杆轴所组成,杆轴的质量可忽略不计。将杆轴的另一端$O$放在水平面上,使陀螺作无滑动的转动($O$位置不变)。起始时,杆轴$OC$与竖直线的夹角为$\alpha$,总角速度为$\omega$,方向沿着$\alpha$角的平分线。如下图所示。求

    1. 从此时到陀螺直立经过的时间(可保留积分)
    2. 在什么情形下,陀螺不可能达到直立状态?在什么情形下,可以达到直立状态?
      第五题图
  6. 在行星绕太阳的椭圆运动中,若令$a-r=ae\cos E$,$\int\frac{2\pi}{\tau}=T$,其中$\tau$为后期,$a$为半长轴,$e$为离心率。在天文学上,称$E$为偏近点角,试证开普勒方程:$T=E-e\sin E$。(当行星处于近日点时,取$T=0$,即$t=0$)
  7. 大家肯定都做过这道题,如图(1)4个质量相同的质点用长度相同的轻绳连接,相邻绳的夹角均为$60^\circ$,现给1球一个沿绳方向的瞬时冲量,过后,1的速度为$v$,绳不可伸长,使得相连的两个质点沿绳速度相等。求质点4的速度。如果你没做过也不要紧,你可以现在就做一下,答案是$\frac{v}{13}$。不过,做对了并不加分哦!下面把这道题推广到$n$个质量相同的$n$个质点,开始时均静止。且绳处于拉直状态。绳不一定长度相等,保证了绳可以不交叉,相邻绳的夹角为$\theta(0\le\theta\le\frac{\pi}{2})$,且向相同方向偏转(都是顺时针或者逆时针,图中标示为逆时针),如图(2)所示。现在同样给$A_1$以$\vec{A_2A_1}$方向的冲量,过后,$A_1$速度为$v$,求第$n$个质点$A_n$的速度$v_n$。

第7题图

Last modification:May 22nd, 2020 at 11:07 pm
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